Question

函數(shù)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（x）+f（y-x）=f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．若對任意t∈（1，2），f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立，求x的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由條件f（x）+f（y-x）=f（y），得出f（y-x）=f（y）-f（x），利用此恒等式推導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)及單調(diào)遞減函數(shù)，利用辯證思維，把t當(dāng)自變量，x為常量解題，這樣就把以x為自變量的復(fù)雜函數(shù)變成以t為自變量的一次函數(shù)處理，使問題簡單化．

解答： 解：∵f（x）+f（y-x）=f（y），∴f（y-x）=f（y）-f（x），
令y=x代入上式得f（0）=f（x）-f（x），∴f（0）=0，
f（-x）=f（0-x）=f（0）-f（x）=0-f（x）=-f（x），∴f（x）為R上的奇函數(shù)．
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）為R上的減函數(shù)，
∴f（tx²-2x）＜f（t+2）可化為tx²-2x＞t+2，
∴tx²-2x-t-2＞0，∴（x²-1）t-2x-2＞0，
若對任意t∈（1，2），f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立，即對任意t∈（1，2），（x²-1）t-2x-2＞0，
令g（t）=（x²-1）t-2x-2，且g（t）是關(guān)于t的一次函數(shù)，
∴對任意t∈（1，2），g（t）＞0，
∴①當(dāng)x=1時(shí)，g（t）=-4，不滿足g（t）＞0，
②當(dāng)x=-1時(shí)，g（t）=0，不滿足g（t）＞0，
③當(dāng)x²＞1時(shí)，即當(dāng)x＜-1，或x＞1時(shí)，g（t）在（1，2）上遞增，
∴g（1）＞0，即x²-2x-3＞0，解得x＜-1，或x＞3，
故當(dāng)x²＞1時(shí)，x的范圍為x＜-1，或x＞3，
④當(dāng)x²＜1時(shí)，即當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，g（t）在（1，2）上遞減，
∴g（2）＞0，即2x²-2x-4＞0，解得x＜-1，或x＞2，
故當(dāng)x²＜1時(shí)，x的范圍為Φ，
綜上①②③④x的范圍為x＜-1，或x＞3，

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，也就是利用所給的函數(shù)的恒等式推導(dǎo)函數(shù)所具備的性質(zhì)；另外，函數(shù)表達(dá)式中含有兩個(gè)變量時(shí)，選擇哪一個(gè)為自變量使問題簡單化尤為重要．