Question

已知f（x）是以π為周期的偶函數(shù)，且x∈[0，

π

2

]時，f（x）=sin x-cosx．
（1）求當(dāng)x∈[

5

2

π，3π]時f（x）的解析式．
（2）求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）當(dāng)x∈[

5

2

π，3π]時，3π-x∈[0，

π

2

]，結(jié)合已知和函數(shù)的周期性和奇偶性可得；（2）易得當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，f（x）=-sinx-cosx，可求在∈[-

π

2

，

π

2

]一個周期內(nèi)滿足f（x）＜0的x范圍，由周期性可得．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈[

5

2

π，3π]時，3π-x∈[0，

π

2

]，
又∵x∈[0，

π

2

]時，f（x）=sinx-cosx，
∴f（3π-x）=sin（3π-x）-cos（3π-x）=sinx+cosx，
又∵f（x）是以π為周期的偶函數(shù)，
∴f（3π-x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）=sinx+cosx，x∈[

5

2

π，3π]．
（2）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，-x∈[0，

π

2

]，
∴f（-x）=sin（-x）-cos（-x）=-sinx-cosx，
由偶函數(shù)可得f（-x）=f（x），
∴當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，f（x）=-sinx-cosx，
∴在∈[-

π

2

，

π

2

]一個周期內(nèi)滿足f（x）＜0的x范圍為-

π

4

＜x＜

π

4

∴不等式f（x）＜0的解集為{x|kπ-

π

4

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的周期性和奇偶性，屬基礎(chǔ)題．