Question

15．已知長方體的寬與高相等，其外接球的半徑為2，則長方體體積的最大值為$\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$．

Answer 1

分析 設長、寬、高分別為a、b、b，則a²+b²+b²=16，即a²+2b²=16，求出長方體體積的表達式，利用導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出長方體體積的最大值．

解答 解：設長、寬、高分別為a、b、b，則a²+b²+b²=16，即a²+2b²=16，
${V_{長方體}}=a{b^2}=a×\frac{{（16-{a^2}）}}{2}$，
令$f（x）=\frac{{x（16-{x^2}）}}{2}=\frac{{16x-{x^3}}}{2}$，則${f^'}（x）=8-\frac{3}{2}{x^2}=0$，
解得$x=-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$（舍去）或$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
當$x∈（0，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）$時，f′（x）＞0，$x∈（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，+∞）$時，f′（x）＜0，
所以$f{（x）_{max}}=f（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）=\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$，即長方體體積的最大值為$\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$．
故答案為：$\frac{{64\sqrt{3}}}{9}$．

點評 本題考查長方體體積的最大值，考查導數(shù)知識的運用，正確求出長方體體積，利用導數(shù)是關鍵．