Question

9．給出下列結(jié)論：
（1）函數(shù)f（x）=tanx有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)；
（2）集合A={x|y=2x+1}，集合 B={x|y=x²+x+1}則A∩B={（0，1），（1，3）}；
（3）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}|$的值域是[-1，1]；
（4）函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為$（\frac{π}{3}，0）$；
（5）已知函數(shù)f（x）=2cosx，若存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為2π．
其中結(jié)論正確的序號(hào)是（1）（4）（把你認(rèn)為結(jié)論正確的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 （1）求出正切函數(shù)的零點(diǎn)判斷（1）；
（2）化簡(jiǎn)兩集合并取交集判斷（2）；
（3）寫(xiě)出分段函數(shù)求得值域判斷（3）；
（4）求出三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心判斷（4）；
（5）把已知存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的周期判斷（5）．

解答 解：（1）由tanx=0，得x=kπ，k∈Z，∴函數(shù)f（x）=tanx有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故（1）正確；
（2）集合A={x|y=2x+1}=R，集合 B={x|y=x²+x+1}=R，則A∩B=R，故（2）錯(cuò)誤；
（3）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}|$=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥0}\\{0，sinx＜0}\end{array}\right.$，其值域是[0，1]，故（3）錯(cuò)誤；
（4）由2x+$\frac{π}{3}=kπ$，得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，k∈Z，取k=1，得x=$\frac{π}{3}$，∴函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為$（\frac{π}{3}，0）$，故（4）正確；
（5）∵函數(shù)f（x）=2cosx的周期為2π，存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，說(shuō)明|x₁-x₂|的最小值為$\frac{1}{2}$周期=π，故（5）錯(cuò)誤．
∴正確的命題是（1），（4）．
故答案為：（1）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查分析問(wèn)題和求解問(wèn)題的能力，屬中檔題．