Question

5．下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{a_n}的四個(gè)命題：p₁：數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列；p₂：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n是遞增數(shù)列；p₃：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是遞增數(shù)列；p₄：數(shù)列{a_n+nd}是遞增數(shù)列．其中的真命題為（　�。�

• A． p₁，p₂
• B． p₃，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₁，p₄

Answer 1

分析 p_1，由a_n+1＞a_n，得數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列．
p₂，s_n=$\fracvj1chci{2}{n}^{2}+（{a}_{1}-\frac06mecaf{2}）n$，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可知，在n∈N⁺不一定單調(diào)遞增．
p₃.$\frac{{a}_{n}}{n}=d+\frac{{a}_{1}-d}{n}$，當(dāng)a₁-d＞0時(shí)，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是遞減數(shù)列．
p_4，由[a_n+1+（n+1）d]-[a_n+nd]=2d，得數(shù)列{a_n+nd}是遞增數(shù)列．

解答 解：對于p₁，∵d＞0，∴d=a_n+1-a_n＞0，∴a_n+1＞a_n，∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，p₁是真命題．
對于p₂，s_n=$\fracd3pn02x{2}{n}^{2}+（{a}_{1}-\frac0pcaq7c{2}）n$，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可知，在n∈N⁺不一定單調(diào)遞增，故p₂是假命題．
對于p₃.$\frac{{a}_{n}}{n}=d+\frac{{a}_{1}-d}{n}$，當(dāng)a₁-d＞0時(shí)，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是遞減數(shù)列，故p₃是假命題．
對于p₄，∵[a_n+1+（n+1）d]-[a_n+nd]=2d，∴數(shù)列{a_n+nd}是遞增數(shù)列．故p₄是真命題．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的單調(diào)性，考查簡易邏輯的全稱性和存在性命題的真假，考查推理和判斷能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．