Question

20．如圖，多面體ABC-B₁C₁D是由三棱柱ABC-A₁B₁C₁截去一部分后而成，D是AA₁的中點．
（1）若AD=AC=1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求點C到面B₁C₁D的距離；
（2）若E為AB的中點，F(xiàn)在CC₁上，且$\frac{{C{C_1}}}{CF}=λ$，問λ為何值時，直線EF∥平面B₁C₁D？

Answer 1

分析 （1）由BC⊥CD，CD⊥C₁D，可得CD⊥面B₁C₁D，即點C到面B₁C₁D的距離等于CD
（2）當(dāng)λ=4時，直線EF∥平面B₁C₁D，理由如下：取DB₁的中點H，連接EH，可得AD∥EH∥CC₁，當(dāng)C₁F=EH=$\frac{3}{2}$時，四邊形C₁FEH為平行四邊形，即EF∥HC₁．

解答 解：（1）∵多面體ABC-B₁C₁D是由三棱柱ABC-A₁B₁C₁截去一部分后而成，D是AA₁的中點．AD⊥平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥面DACC₁，則BC⊥CD，
∵BC∥B₁C₁，∴CD⊥B₁C₁，
又∵AD=AC=1，D是AA₁的中點，∴$CD=\sqrt{2}$，DC₁=$\sqrt{2}$，
可得$C{D}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}=C{{C}_{1}}^{2}$，即CD⊥C₁D，
∴CD⊥面DC₁B₁，∴點C到面B₁C₁D的距離等于CD=$\sqrt{2}$，
（2）當(dāng)λ=4時，直線EF∥平面B₁C₁D，
理由如下：設(shè)AD=1，則BB₁=2，取DB₁的中點H，連接EH，可得AD∥EH∥CC₁，
∵EH是梯形DABB₁的中位線，∴$EH=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，
當(dāng)C₁F=EH=$\frac{3}{2}$時，四邊形C₁FEH為平行四邊形，即EF∥HC₁，
∵HC₁?面B₁C₁D，∴直線EF∥平面B₁C₁D．
此時且$\frac{{C{C_1}}}{CF}=λ$=4，

點評 本題考查了空間線面平行的判定，點面距離的求解，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．