Question

6．已知橢圓Γ：$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形，O為坐標原點：
（1）求橢圓Г的方程：
（2）設點A在橢圓Г上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，求證：$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$為定值：
（3）設點C在Γ上運動，OC⊥OD，且點O到直線CD距離為常數(shù)d（0＜d＜2），求動點D的軌跡方程：

Answer 1

分析 （1）由橢圓的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出橢圓Г的方程．
（2）設A（x₀，y₀），則OB的方程x₀x+y₀y=0，由y=2，得B（-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），由此能證明$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$為定值$\frac{1}{2}$．
（3）設C（x₀，y₀），D（x，y），由OC⊥OD，得x₀x+y₀y=0，又C點在橢圓上，得：$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，從而${{x}_{0}}^{2}=\frac{4{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，${{y}_{0}}^{2}=\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，由此能求出D點軌跡方程．

解答 解：（1）∵橢圓Γ：$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形，O為坐標原點，
∴b=c=$\sqrt{2}$，∴$a=\sqrt{2+2}$=2，
∴橢圓Г的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
證明：（2）設A（x₀，y₀），則OB的方程x₀x+y₀y=0，
由y=2，得B（-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），
∴$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}+4}$=$\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{4（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）}$=$\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{4（{{x}_{0}}^{2}+2-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}）}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{O{A}^{2}}$+$\frac{1}{O{B}^{2}}$為定值$\frac{1}{2}$．
解：（3）設C（x₀，y₀），D（x，y），由OC⊥OD，得x₀x+y₀y=0，①
又C點在橢圓上，得：$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，②
聯(lián)立①②，得：${{x}_{0}}^{2}=\frac{4{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，${{y}_{0}}^{2}=\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，③
由OC⊥OD，得OC•OD=CD•d，
∴OC²•OD²=（OC²+OD²）•d²，
∴$\frac{1}{0fbnjei^{2}}=\frac{1}{O{C}^{2}}+\frac{1}{O{D}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$
=$\frac{1}{\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{4{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$
=$\frac{2{x}^{2}+{y}^{2}+4}{4（{x}^{2}+{y}^{2}）}$，
化簡，得D點軌跡方程為：（$\frac{1}{qbwzul5^{2}}-\frac{1}{2}$）x²+（$\frac{1}{fawqwii^{2}}-\frac{1}{4}$）y²=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查代數(shù)式和為定值的證明，考查點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質及橢圓與直線的位置關系的合理運用．