Question

18．已知$|\overrightarrow a|$=1，$|\overrightarrow b|$=2，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°．求：
（1）$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$，$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$
（2）$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角θ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，求模長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積求向量的夾角即可．

解答 解：（1）∵$|\overrightarrow a|$=1，$|\overrightarrow b|$=2，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為60°
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1²+2×1×2cos60°+2²=7，
${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1²-2×1×2cos60°+2²=3，
∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=$\sqrt{7}$，
$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$=$\sqrt{3}$；
（2）∵$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{a}$-${\overrightarrow}^{2}$=2×1×cos60°-2²=-3，
∴$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$夾角θ的余弦值為
cosθ=$\frac{\overrightarrow•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow|×|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．