三棱錐P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=,求三棱錐P-ABC的體積.
解法1:如圖,設(shè)P在底面的射影為O,依題意計(jì)算得△PAB中AB邊上的高PE=,進(jìn)而求得PO=,∴. 解法2:取AB,AC的中點(diǎn)M,N,則三棱錐P-AMN是棱長(zhǎng)為a的正四面體,∴.從而. 解法3:延長(zhǎng)AP至Q,使AQ=2a,連結(jié)QB,QC,則Q-ABC是棱長(zhǎng)為2a的正四面體, ∴=,∴=. 解法4:在△ABC中,∵PA=a,AB=2a,∠PAB=,由余弦定理得PB=,∴∠APB=,同理∠APC=,∴AP⊥平面PBC,∵,∴==. |
注:多角度、多方位地審視本題條件,從而運(yùn)用“換底法”、“切割法”、“補(bǔ)形法”等不同的方法解答了本題,培養(yǎng)和訓(xùn)練了發(fā)散思維能力. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:訓(xùn)練必修二數(shù)學(xué)人教A版 人教A版 題型:047
如圖,在三棱錐P-ABC中,點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),
求證:OD∥平面PAB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年四川省成都市高三9月月考理科數(shù)學(xué)試題(解析版) 題型:解答題
本小題滿分12分)
已知三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,
N為AB上一點(diǎn),AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).
(I)證明:CM⊥SN;(II)求SN與平面CMN所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體專項(xiàng)訓(xùn)練(河北) 題型:解答題
如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=3,M為AB的中點(diǎn),四點(diǎn)P、A、M、C都在球O的球面上.
(1)證明:平面PAB⊥平面PCM;
(2)證明:線段PC的中點(diǎn)為球O的球心
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(遼寧卷)理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
已知三棱錐P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=½AB,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN與平面CMN所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年廣東省山一高二上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(14分)
已知三棱錐P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=½AB,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN與平面CMN所成角的大小。
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