Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）已知函數(shù)y=g（x）對(duì)任意x滿足g（x）=f（4-x），證明當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），證明x₁+x₂＞4．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求得即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷且單調(diào)性得h（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，故h（x）＞h（2）=0，即可得證；
（3）利用（1）（2）的結(jié)論即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$（x∈R）
∴f'（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x-1}}$，
∴x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x＞2時(shí)f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）的極大值=f（2）=$\frac{1}{e}$．
（2）∴g（x）=f（4-x），
∴g（x）=$\frac{3-x}{{e}^{3-x}}$，
設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$-$\frac{3-x}{{e}^{3-x}}$，
∴h'（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x-1}}$-$\frac{2-x}{{e}^{3-x}}$=$\frac{（2-x）（{e}^{3-x}-{e}^{x-1}）}{{e}^{2}}$
當(dāng)x＞2時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（2）=0，
∴f（x）＞g（x）．
（3）由（1），不妨設(shè)x₁＜2＜x₂，則4-x₂＜2，
∴由（2）得f（x₁）=f（x₂）＞f（4-x₂），
又由（1）得，x＜2時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
∴x₁＞4-x₂，
∴x₁+x₂＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值最值的知識(shí)，以及通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式成立問題，屬中檔題．