分析 (1)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求得即可;
(2)構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),利用導(dǎo)數(shù)判斷且單調(diào)性得h(x)在(2,+∞)上是增函數(shù),故h(x)>h(2)=0,即可得證;
(3)利用(1)(2)的結(jié)論即可得出結(jié)論.
解答 解:(1)f(x)=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$(x∈R)
∴f'(x)=$\frac{2-x}{{e}^{x-1}}$,
∴x<2時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;x>2時(shí)f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
∴f(x)的極大值=f(2)=$\frac{1}{e}$.
(2)∴g(x)=f(4-x),
∴g(x)=$\frac{3-x}{{e}^{3-x}}$,
設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=$\frac{x-1}{{e}^{x-1}}$-$\frac{3-x}{{e}^{3-x}}$,
∴h'(x)=f′(x)-g′(x)=$\frac{2-x}{{e}^{x-1}}$-$\frac{2-x}{{e}^{3-x}}$=$\frac{(2-x)({e}^{3-x}-{e}^{x-1})}{{e}^{2}}$
當(dāng)x>2時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
∴h(x)>h(2)=0,
∴f(x)>g(x).
(3)由(1),不妨設(shè)x1<2<x2,則4-x2<2,
∴由(2)得f(x1)=f(x2)>f(4-x2),
又由(1)得,x<2時(shí),f(x)單調(diào)遞增,
∴x1>4-x2,
∴x1+x2>4.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值最值的知識(shí),以及通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式成立問題,屬中檔題.
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A. | f(x)=log22x,g(x)=$\root{3}{{x}^{3}}$ | B. | f(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$,g(x)=x | ||
C. | f(x)=x,g(x)=$\frac{{x}^{2}}{x}$ | D. | f(x)=lnx2,g(x)=2lnx |
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