Question

20．定義在R上的奇函數f（x），對任意a，b∈R，a+b≠0，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
（1）試證明f（x）為R上的增函數；
（2）若不等式f（kx²-6）+f（k-2x）＜0在k∈[-1，1]上恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用奇函數的定義和單調性的定義，即可得證；
（2）由題意可得不等式f（kx²-6）+f（k-2x）＜0即為f（kx²-6）＜-f（k-2x）=f（2x-k），由f（x）在R上遞增，可得kx²-6＜2x-k，構造函數g（k）=k（x²+1）-6-2x，由一次函數的單調性，可得g（-1）＜0，g（1）＜0，解之即可得到所求范圍．

解答 解：（1）證明：定義在R上的奇函數f（x），可得f（-x）=-f（x），
可令a=x₁，b=-x₂，即有$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
即$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，當x₁＜x₂時，f（x₁）＜f（x₂），
則f（x）在R上遞增；
（2）不等式f（kx²-6）+f（k-2x）＜0即為
f（kx²-6）＜-f（k-2x）=f（2x-k），
由f（x）在R上遞增，可得kx²-6＜2x-k，
即k（x²+1）-6-2x＜0，設g（k）=k（x²+1）-6-2x，
由k∈[-1，1]上恒成立，可得
$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＜0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x-7＜0}\\{{x}^{2}-2x-5＜0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{1-\sqrt{6}＜x＜1+\sqrt{6}}\end{array}\right.$，解得1-$\sqrt{6}$＜x＜1+$\sqrt{6}$．
則x的范圍是（1-$\sqrt{6}$，1+$\sqrt{6}$）．

點評 本題考查函數的單調性的判斷和證明，以及運用：解不等式，考查不等式恒成立問題的解法，注意主元思想的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．