Question

20．已知曲線(xiàn)C₁參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=4t}\\{y=-1+3t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$
（1）求曲線(xiàn)C₁的普通方程和曲線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線(xiàn)C₁與C₂公共點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P（0，-1），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）消去參數(shù)t，把曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程化為普通方程；利用極坐標(biāo)公式，把曲線(xiàn)C₂化為直角坐標(biāo)方程；
（II）C₁的參數(shù)方程，代入曲線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程得：5t²-8t-1=0，即可求出|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程，消去參數(shù)化為曲線(xiàn)C₁的普通方程：3x-4y-4=0，
曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，可得直角坐標(biāo)方程：（x-1）²+（y+1）²=2．
（2）曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}t}\\{y=-1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$，代入曲線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程得：5t²-8t-5=0，
∴t₁t₂=-1．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的應(yīng)用問(wèn)題，考查參數(shù)幾何意義的運(yùn)用，是綜合性題目．