Question

19．設(shè)x，y滿足約束條件：$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{2x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則$\frac{a+b}{ab}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求則$\frac{a+b}{ab}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率$-\frac{a}＜0$，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$的截距最大，此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，
即2a+4b=2，∴a+2b=1，
$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）×1=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）×（a+2b）=1+2+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$
≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2b}{a}$=$\frac{a}$，即a=$\sqrt{2}$b時(shí)取等號(hào)．
故最小值為3+2$\sqrt{2}$，
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．