Question

1．已知橢圓M：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，點F₁，C分別是橢圓M的左焦點、左頂點，過點F₁的直線l（不與x軸重合）交M于A，B兩點．
（Ⅰ）求M的離心率及短軸長；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得點B在以線段AC為直徑的圓上，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過橢圓M方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，直接計算即可；
（Ⅱ）通過設(shè)B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），利用$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$＞0可得$∠B∈（0，\frac{π}{2}）$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得：$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴橢圓M的短軸長為$2\sqrt{3}$，
∴$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=1$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即M的離心率為$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）結(jié)論：不存在直線l，使得點B在以AC為直徑的圓上．
理由如下：
由題意知：C（-2，0），F(xiàn)₁（-1，0），
設(shè)B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），則$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$．
∵$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$
=$2+3{x_0}+x_0^2+y_0^2$
=$\frac{1}{4}x_0^2+3{x_0}+5＞0$，
∴cos∠F₁BC＞0，
∴∠F₁BC為銳角，即$∠B∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴點B不在以AC為直徑的圓上，即：不存在直線l，使得點B在以AC為直徑的圓上．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．