Question

定義域為的函數(shù)，如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個數(shù)、都有成立，則稱此函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”．

（1）判斷函數(shù)在上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；

（2）如果函數(shù)在上是“凸函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）對于區(qū)間上的“凸函數(shù)”，在上任取，，，……，．

① 證明：當(dāng)（）時，成立；

② 請再選一個與①不同的且大于1的整數(shù)，

證明：也成立．

Answer 1

解：（1）設(shè)，是上的任意兩個數(shù)，則

．函數(shù)在上是 “凸函數(shù)”．

（2）對于上的任意兩個數(shù)，，均有成立，即，整理得

若，可以取任意值．

若，得，，．

綜上所述得．

（3）①當(dāng)時由已知得成立．

假設(shè)當(dāng)時，不等式成立即

成立．

那么，由，

得

．

即時，不等式也成立．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理不等式得證．

②比如證明不等式成立．由①知，，，，

有成立．

，，，，

，

從而得．