Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+2x-a（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、[1，e]
• B、[1，1+e]
• C、[e，1+e]
• D、[0，1]

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用反函數(shù)將問題進行轉(zhuǎn)化，再將解方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點問題．

解答：解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）
其中f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)
因此命題“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點，
且交點的橫坐標b∈[0，1]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象的交點必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點，且交點橫坐標b∈[0，1]，
∴e^x+2x-a=x
∴a=e^x+x
設(shè)g（x）=e^x+x
則g′（x）=e^x+1＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=e^x+x在[0，1]上遞增，
∴g（0）=1+0=1，g（1）=e+1
∴a的取值范圍是[1，1+e]，
故選：B

點評：本題主要考察了復合函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強，屬于難題．