Question

6．已知集合A={x∈R|（x+a）（x²+ax+1）=0}．
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使得a∈A？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若集合A有且僅有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）要使a∈A，即（a+a）（a²+a²+1）=0有解，解方程即可；
（2）集合A有且僅有兩個(gè)元素，得到集合中方程（x+a）（x²+ax+1）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，分析其解的情況，得到a 的取值．

解答 解：（1）已知集合A={x∈R|（x+a）（x²+ax+1）=0}．要使a∈A，即（a+a）（a²+a²+1）=0有解，解得a=0；所以存在實(shí)數(shù)a=0，使得a∈A；
（2）若集合A有且僅有兩個(gè)元素，說(shuō)明方程（x+a）（x²+ax+1）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以①x+a=0且x²+ax+1=0有兩個(gè)不等于-a的相等實(shí)根；解得a=2或-2；
②x²+ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中的一個(gè)根為-a；此情況不合題意；
故實(shí)數(shù)a的取值集合{2，-2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了元素與集合關(guān)系；關(guān)鍵是由題意，正確分析集合中方程解的情況．