Question

對(duì)于一切n∈N^*，等式

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=a+

b

(n+1)•2n

（a∈R，b∈R）恒成立．
（1）求a，b的值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上面等式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）將n=1，n=2代入等式，求a，b的值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時(shí)先證①當(dāng)n=1時(shí)成立；②再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，遞推到n=k+1時(shí)，成立即可．

解答： 解：（1）將n=1，n=2代入等式得：

a+ b 4 = 3 4 a+ b 12 = 3 4 + 1 6

解得：

a=1 b=-1

…（6分）
（2）由（1）得，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=1-

1

(n+1)•2n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

3

4

，右邊=

3

4

，等式成立；…（8分）
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

k+2

k(k+1)

×

1

2k

=1-

1

(k+1)•2k

則n=k+1時(shí)，
左邊=

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

k+2

k(k+1)

×

1

2k

+

k+3

(k+1)(k+2)

×

1

2k+1

=1-

1

(k+1)•2k

+

k+3

(k+1)(k+2)

×

1

2k+1

=1-

1

(k+2)•2k+1

=右邊
即n=k+1時(shí)等式成立．…（12分）
由①②知，等式

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=1-

1

(n+1)•2n

成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查研究存在性問題和數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)存在性問題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．