Question

20．已知A（1，2，3）、B（2，1，2）、C（1，1，2），O為坐標原點，點D在直線OC上運動，則當$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$取最小值時，點D的坐標為（　�。�

• A． （$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）
• B． （$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）
• C． （$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）
• D． （$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{OD}$=t$\overrightarrow{OC}$=（t，t，2t），t≥0，則$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=6t²-16t+10，由此利用配方法能求出$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$取最小值時，點D的坐標．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OD}$=t$\overrightarrow{OC}$=（t，t，2t），t≥0，
∵A（1，2，3）、B（2，1，2）、C（1，1，2），O為坐標原點，點D在直線OC上運動，
∴$\overrightarrow{DA}$=（1-t，2-t，3-2t），$\overrightarrow{DB}$=（2-t，1-t，2-2t），
∴$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=（1-t）×（2-t）+（2-t）×（1-t）+（3-2t）（2-2t）
=6t²-16t+10
=6（t-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{26}{9}$，
當t=$\frac{4}{3}$時，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$取最小值，
此時D（$\frac{4}{3}，\frac{4}{3}，\frac{8}{3}$）．
故選：C．

點評 本題考查滿足條件的點的坐標的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間向量數(shù)量積的合理運用．