Question

12．在△ABC中，
（1）sin²$\frac{A}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$（a、b、c分別為角A、B、C的對邊），則△ABC的形狀為直角三角形．
（2）若b=asinC，c=acosB，則△ABC的形狀為等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由倍角公式化簡已知可得$\frac{1-cosA}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$，結(jié)合余弦定理可得：1-$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{c-b}{c}$，整理可得a²+b²=c²，即可判定得解．
（2）由條件利用正弦定理可得 sinA=1，可得A=$\frac{π}{2}$．再由sinC=sinB，利用正弦定理可得c=b，可得△ABC的形狀為等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵sin²$\frac{A}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$，
∴$\frac{1-cosA}{2}$=$\frac{c-b}{2c}$，
∵cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，代入上式，可得1-$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{c-b}{c}$
∴解得：2bc-b²-c²+a²=2bc-2b²，可得a²+b²=c²，
故三角形為以∠C為直角的直角三角形．
（2）在△ABC中，∵b=asinC，c=acosB，
故由正弦定理可得 sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，
∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1，∴A=$\frac{π}{2}$．
∴sinC=sinAsinB 即 sinC=sinB，
∴由正弦定理可得c=b，故△ABC的形狀為等腰直角三角形，
故答案為：直角三角形，等腰直角三角形．

點評 本題主要考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，判斷三角型的形狀，屬于中檔題．