Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
（1）設(shè)a≥0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，且對于任意x＞0，f（x）≥f（1）．試比較lna與-2b的大�。�

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，對a，b討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性確定lna與-2b的大�。�

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
f′（x）=2ax+b-$\frac{1}{x}$
=$\frac{2a{x}^{2}+bx-1}{x}$
當(dāng)a=0時
當(dāng)b≤0時，在定義域內(nèi)f′（x）＜0，函數(shù)遞減
當(dāng)b＞0時，在（0，$\frac{1}$），f′（x）＜0，函數(shù)遞減；在（$\frac{1}$，+∞），f′（x）0，函數(shù)遞增
當(dāng)a＞0時
令f′（x）=0
∴x=$\frac{-b±\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$
在（0，$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$），f′（x）＜0，函數(shù)遞減；在（$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$，+∞）f′（x）＞0，函數(shù)遞增．
（2）由題知，函數(shù)在x=1處取得最小值，即x=1時函數(shù)的極值點
∴f′（x）=2ax+b-$\frac{1}{x}$
=$\frac{2a{x}^{2}+bx-1}{x}$
f′（1）=2a+b-1=0
∴b=1-2a
-2b=4a-2
∴l(xiāng)na-（-2b）
=lna-4a+2
構(gòu)造函數(shù)g（x）=2-4x+lnx（x＞0）
g′（x）=$\frac{1-4x}{x}$
令g′（x）=0，x=$\frac{1}{4}$
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{4}$時，g′（x）＞0，g（x）遞增
當(dāng)x＞$\frac{1}{4}$時，g′（x）＜0，g（x）遞減
∴g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）=1-ln4＜0
∴g（a）=2-4a+lna=2b+lna＜0
故lna＜-2b

點評 此題考查對a，b的分類和構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大�。�