【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點.
(1)證明:CD⊥平面PAE;
(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P﹣ABCD的體積.
【答案】
(1)
解法一:連接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5,
又AD=5,E是CD得中點,
所以CD⊥AE,
PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD.
所以PA⊥CD,
而PA,AE是平面PAE內的兩條相交直線,
所以CD⊥平面PAE.
解法二:以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為X軸,Y軸,Z軸建立空間直角坐標系,
設PA=h,則A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
=(﹣4,2,0), =(2,4,0), =(0,0,h).
因為 =﹣8+8+0=0, =0.
所以CD⊥AE,CD⊥AP,而AP,AE是平面PAE內的兩條相交直線,
所以CD⊥平面PAE.
(2)
法一:過點B作BG∥CD,分別與AE,AD相交于點F,G,連接PF,
由CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE,于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角,且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知,∠PBA即為直線PB與平面ABCD所成的角.
由題意∠PBA=∠BPF,因為sin∠PBA= ,sin∠BPF= ,所以PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD.
所以四邊形BCDG是平行四邊形,
故GD=BC=3,于是AG=2.
在RT△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,
所以BG= =2 ,BF= = = .
于是PA=BF= .
又梯形ABCD的面積為S= ×(5+3)×4=16.
所以四棱錐P﹣ABCD的體積為V= ×S×PA= ×16× = .
法二:由題設和第一問知, , 分別是平面PAE,平面ABCD的法向量,
而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,
所以:|cos< , >|=|cos< , >|,即| |=| |.
由第一問知 =(﹣4,2,0), =((0,0,﹣h),又 =(4,0,﹣h).
故| |=| |.
解得h= .
又梯形ABCD的面積為S= ×(5+3)×4=16.
所以四棱錐P﹣ABCD的體積為V= ×S×PA= ×16× = .
【解析】法一:(1)先根據(jù)條件得到CD⊥AE;再結合PA⊥平面ABCD即可得到結論的證明;(2)先根據(jù)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等得到PA=BF,進而得到四邊形BCDG是平行四邊形,在下底面內求出BF的長以及下底面的面積,最后代入體積計算公式即可.
法二:(1)先建立空間直角坐標系,求出各點的坐標,進而得到 =0以及 =0.即可證明結論;(2)先根據(jù)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等得到PA的長,再求出下底面面積,最后代入體積計算公式即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識,掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】樣本(x1 , x2…,xn)的平均數(shù)為x,樣本(y1 , y2 , …,ym)的平均數(shù)為 ( ≠ ).若樣本(x1 , x2…,xn , y1 , y2 , …,ym)的平均數(shù) =α +(1﹣α) ,其中0<α< ,則n,m的大小關系為( )
A.n<m
B.n>m
C.n=m
D.不能確定
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓 (a>b>0)的左、右焦點分別為F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0).已知(1,e)和(e, )都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點,且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點P.
(i)若AF1﹣BF2= ,求直線AF1的斜率;
(ii)求證:PF1+PF2是定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點A(﹣1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是( 。
A.(0,1)B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)接到生產3000臺某產品的A,B,C三種部件的訂單,每臺產品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個工人每天可生產A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產這三種部件,生產B部件的人數(shù)與生產A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為K(K為正整數(shù)).
(1)設生產A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產需要的時間;
(2)假設這三種部件的生產同時開工,試確定正整數(shù)K的值,使完成訂單任務的時間最短,并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,則_____.
【答案】
【解析】
分子分母同時除以,把目標式轉為的表達式,代入可求.
,則
故答案為:.
【點睛】
本題考查三角函數(shù)的化簡求值,常用方法:(1)弦切互化法:主要利用公式, 形如等類型可進行弦化切;(2)“1”的靈活代換和的關系進行變形、轉化.
【題型】填空題
【結束】
15
【題目】如圖,正方體的棱長為1,為中點,連接,則異面直線和所成角的余弦值為_____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為 .
(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程;
( Ⅱ ) 設直線 與軸和軸的交點分別為,為圓上的任意一點,求的取值范圍.
【答案】(1);.
(2).
【解析】【試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數(shù)方程,將圓的極坐標方程展開后化簡得直角坐標方程.(II)求得兩點的坐標, 設點,代入向量,利用三角函數(shù)的值域來求得取值范圍.
【試題解析】
(Ⅰ)圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
直線的直角坐標方程為.
(Ⅱ)由直線的方程可得點,點.
設點,則 .
.
由(Ⅰ)知,則 .
因為,所以.
【題型】解答題
【結束】
23
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù), .
(Ⅰ)若對于任意, 都滿足,求的值;
(Ⅱ)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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