Question

9．根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和基本關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式．
（1）a₁=1，a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2）；
（2）a₁=1，a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）通過a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2）可知a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），進(jìn)而利用累加法計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過對a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1（n≥2）變形可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$（n≥2），進(jìn)而利用累乘法計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1，a_n-1-a_n-2=3^n-2，…，a₂-a₁=3¹，
累加得：a_n-a₁=$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-3}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{{3}^{n}-3}{2}$+1=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$；
（2）∵a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$（n≥2），$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n-1}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，利用累加法、累乘法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．