Question

已知函數(shù)f（x）=mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
（1）求y=f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+x-1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）試探究函數(shù)f（x）是否存在單調(diào)遞減區(qū)間？若有，設(shè)其單調(diào)區(qū)間為[t，s]，試求s-t的取值范圍？若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P在函數(shù)y=f（x）上，由f（x）=mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
得：f′（x）=mx-2+（m≥1）；
∴y′|_x=0=-1 故切線方程為：y=-x+1…（3分）
（2）由g（x）=f（x）+x-1=mx²-x+ln（x+1），
可知：定義域?yàn)椋?1，+∞），且g（0）=0，顯然x=0為y=g（x）的一個(gè)零點(diǎn)；
則g′（x）=mx-1+…（5分）
①當(dāng)m=1時(shí)，g′（x）=0，即函數(shù)y=g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，g（0）=0，故僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意．…（6分）
②當(dāng)m＞1時(shí)，則，列表分析：

x	（-1，）		（，0）	0	（0，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	極大值 g（）	減	極小值 0	增

又∵x→-1時(shí)，g（x）→-∞，∴g（x）在（-1，）上有一根，這與y=g（x）僅有一根矛盾，
故此種情況不符題意．…（9分）
（3）假設(shè)y=f（x）存在單調(diào)區(qū)間，由f（x）=mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
f（x）=得：f′（x）=mx-2+=，…（10分）
令h（x）=mx²+（m-2）x-1，∵△=m²+4＞0，h（-1）=m+2-m-1=1＞0，
∴h（x）=0在（-1，+∞）上一定存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根s，t，…（12分）
即h（x）=mx²+（m-2）x-1＜0的解集為（t，s），即函數(shù)f（x）存在單調(diào)區(qū)間[t，s]，
則s-t=，由m≥1可得：s-t∈（1，]…（14分）
分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；
（2）先寫出g（x）的解析式，可知g（0）=0，顯然x=0為y=g（x）的一個(gè)零點(diǎn)；再利用導(dǎo)數(shù)g′（x）=mx-1+研究函數(shù)y=g（x）在（-1，+∞）上單調(diào)性，從而求出m的值；
（3）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)y=f（x）存在單調(diào)區(qū)間，再利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出s-t的取值范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的處理策略，解題時(shí)，弄清題意，合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具的處理策略是關(guān)鍵