已知橢圓拋物線有公共焦點，的中心和的頂點都在坐標原點，過點的直線與拋物線分別相交于兩點。

(I)寫出拋物線的標準方程；

(II)若，求直線的方程；

(III)若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值。

 

 

 

 

 

 

【答案】

 

解：（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：，                                …………2分

（Ⅱ）設直線的方程為：.

聯(lián)立，消去，得 ， 

                                         ………………3分

顯然，設，

則                   ①

                         ②                               …………………4分

又，所以      ③                            …………………5分

由①② ③消去，得    ，               

故直線的方程為或 .                      …………………6分

（Ⅲ）設，則中點為， 因為兩點關于直線對稱，

所以，即，解之得，                …………………8分

將其代入拋物線方程，得：

，所以，.                                    ………………………9分

聯(lián)立 ，消去，得：

.                            ………………………10分

由，得

，即，                    …………………12分

將，代入上式并化簡，得

，所以，即，   

因此，橢圓長軸長的最小值為.                              ………………………13分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心和拋物線C2的頂點都在坐標原點O，C1和C2有公共焦點F，點F在x軸正半軸上，且C1的長軸長、短軸長及點F到C1右準線的距離成等比數(shù)列．
（Ⅰ）當C2的準線與C1右準線間的距離為15時，求C1及C2的方程；
（Ⅱ）設過點F且斜率為1的直線l交C1于P，Q兩點，交C2于M，N兩點．當|MN|=8時，求|PQ|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心和拋物線C2的頂點都在坐標原點O，C1和C2有公共焦點F，點F在x軸正半軸上，且C1的長軸長、短軸長及點F到C1右準線的距離成等比數(shù)列．
（Ⅰ）當C2的準線與C1右準線間的距離為15時，求C1及C2的方程；
（Ⅱ）設點F且斜率為1的直線l交C1于P，Q兩點，交C2于M，N兩點．當|PQ|=
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時，求|MN|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F（1，0），C1的中心和C2的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C2分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C2的標準方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直線l的方程；
（Ⅲ）若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點，求橢圓C1的長軸長的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右兩個焦點為F1、F2，離心率為
1
2
，又拋物線C2：y2=4mx（m＞0）與橢圓C1有公共焦點F2（1，0）．
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）設直線l經(jīng)過橢圓的左焦點F1且與拋物線交于不同兩點P、Q，且滿足
F1P
=λ
F1Q
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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