Question

圖1，平面四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，，，．把沿折起（如圖2），使二面角的余弦值等于．

對(duì)于圖二，完成以下各小題：

（Ⅰ）求兩點(diǎn)間的距離；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）。                                                                                                                

（Ⅱ）由已知得，推出， 

即，得到平面．

（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn) ，連接 ，

由，得：  

∴就是二面角的平面角，即           2分

在中，解得，又

，解得。        4分                                                                                                                   

（Ⅱ）由，

∴，∴， 

∴，  又，∴平面．     8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面，平面

∴平面平面，平面平面，

作交于，則平面，

就是與平面所成的角。             11分

∴．       13分

方法二：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

∵， ，

∴  ，           11分

于是與平面所成角的正弦為．         13分

方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則． 

設(shè)平面的法向量為，則

，，，，

取，則，                      11分

于是與平面所成角的正弦．   13分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，距離及角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則能簡(jiǎn)化證明過(guò)程。本題解法較多，特別是求距離時(shí)，運(yùn)用了“等體積法”，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的有效轉(zhuǎn)化。