Question

12．已知拋物線y²=2px（p＞0），△ABC的三個頂點都在拋物線上，O為坐標原點，設(shè)△ABC三條邊AB，BC，AC的中點分別為M，N，Q，且M，N，Q的縱坐標分別為y₁，y₂，y₃．若直線AB，BC，AC的斜率之和為-1，則$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$的值為（　　）

• A． -$\frac{1}{2p}$
• B． -$\frac{1}{p}$
• C． $\frac{1}{p}$
• D． $\frac{1}{2p}$

Answer 1

分析 設(shè)AB，BC，AC的方程，聯(lián)立方程組消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系解出y₁，y₂，y₃，根據(jù)斜率之和為-1化簡$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$即可得出答案．

解答 解：設(shè)AB的方程為x=m₁y+t₁，BC的方程為x=m₂y+t₂，AC的方程為x=m₃y+t₃，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x={m}_{1}y+{t}_{1}}\end{array}\right.$，消元得：y²-2pm₁y-2pt₁=0，
∴y₁=pm₁，
同理可得：y₂=pm₂，y₃=pm₃，
∵直線AB，BC，AC的斜率之和為-1，∴$\frac{1}{{m}_{1}}$+$\frac{1}{{m}_{2}}$+$\frac{1}{{m}_{3}}$=-1．
∴則$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$+$\frac{1}{{y}_{3}}$=$\frac{1}{p{m}_{1}}$+$\frac{1}{p{m}_{2}}$+$\frac{1}{p{m}_{3}}$=$\frac{1}{p}$（$\frac{1}{{m}_{1}}$+$\frac{1}{{m}_{2}}$+$\frac{1}{{m}_{3}}$）=-$\frac{1}{p}$．
故選：B．

點評 本題考查了直線與拋物線的交點坐標，根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．