Question

2．已知橢圓C方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過(guò)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得線段長(zhǎng)為1．
（1）求橢圓C方程；
（2）D，E，F(xiàn)為曲線C上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D在第一象限，E，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且|DE|=|DF|，問(wèn)△DEF的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由過(guò)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得線段長(zhǎng)為1，可得$\frac{2^{2}}{a}$=1，又e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)直線EF的方程為：y=kx，則直線OD的方程為：$y=-\frac{1}{k}$x．（k≠0）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得${x}_{E}^{2}$，${y}_{E}^{2}$．可得：|EF|²=4（${x}_{E}^{2}$+${y}_{E}^{2}$）．同理可得：x_D，y_D．|OD|²．設(shè)△DEF的面積=S．可得S²=$\frac{1}{4}|EF{|}^{2}|OD{|}^{2}$，化簡(jiǎn)利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵過(guò)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得線段長(zhǎng)為1，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=1，又e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)直線EF的方程為：y=kx，則直線OD的方程為：$y=-\frac{1}{k}$x．（k≠0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得${x}_{E}^{2}$=$\frac{4}{1+4{k}^{2}}$，${y}_{E}^{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∴|EF|²=4（${x}_{E}^{2}$+${y}_{E}^{2}$）=$\frac{16（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$．
同理可得：x_D=$\frac{-2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，y_D=$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$．
|OD|²=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$．
設(shè)△DEF的面積=S．
∴S²=$\frac{1}{4}|EF{|}^{2}|OD{|}^{2}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{16（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$×$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$=$\frac{16（1+{k}^{2}）^{2}}{4+17{k}^{2}+4{k}^{4}}$=f（k），
令1+k²=t＞1，則f（k）=$\frac{16{t}^{2}}{4{t}^{2}+9t-9}$=$\frac{16}{-9（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{25}{4}}$$≥\frac{64}{25}$．
當(dāng)且僅當(dāng)t=2，k=-1時(shí)取等號(hào)．
∴△DEF的面積存在最小值$\frac{8}{5}$．
此時(shí)D$（\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、“換元法”、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．