Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=8，a_n+1=（1+sin

4nπ+π

2

）a_n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=na_2n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得{a_n}從第2項起是以8為首項2為公比的等比數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由b_n=na_2n=n•4ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=（1+sin

4nπ+π

2

）a_n=2a_n，
又a₁=2，a₂=8，
∴{a_n}從第2項起是以8為首項2為公比的等比數(shù)列，
∴an=

2，n=1 2n+1，n≥2

．
（Ⅱ）b_n=na_2n=n•4ⁿ，
∴T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ，①
4T_n=1•4²+2•4³+3•4⁴+…+n•4ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-3T_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=

4(1-4n)

1-4

-n•4ⁿ⁺¹，
∴T_n=

4

9

-

4n+1

9

+

n

3

•4n-1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．