Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a_na_n+1=3ⁿ，n=1，2，3，…，且a₁=1．
（1）求證：當n≥2時，總有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，求{b_n}的前2n項的和S_2n．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，a_na_n+1=3ⁿ，${a}_{n-1}{a}_{n}={3}^{n-1}$，兩式相除即可證明；
（2）由a_na_n+1=3ⁿ，且a₁=1．可得a₂=3．由（1）可得：數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，首項分別為1，3；公比都為3．分別利用等比數(shù)列的通項公式可得：a_2n-1=3^n-1，a_2n=3ⁿ．可得a₁a₃…a_2n-1=${3}^{\frac{n（n-1）}{2}}$.$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）證明：當n≥2時，a_na_n+1=3ⁿ，${a}_{n-1}{a}_{n}={3}^{n-1}$，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3；
（2）解：∵a_na_n+1=3ⁿ，且a₁=1．
∴a₂=3．
由（1）可得：數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，首項分別為1，3；公比都為3．
∴a_2n-1=3^n-1，a_2n=3ⁿ．
∵b_n=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴a₁a₃…a_2n-1=3^{0+1+…+（n-1）}=${3}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．
∴{b_n}的前2n項的和S_2n=（log₃a₁+log₃a₃+…+log₃a_2n-1）+$（\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}）$
=log₃（a₁a₃…a_2n-1）+$（\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}）$
=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

點評 本題考查了分段數(shù)列的求和問題、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．