Question

12．曲線y=ln（2x-1）上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 0

Answer 1

分析 設(shè)與曲線y=ln（2x-1）相切且與直線2x-y+3=0平行的直線方程為：2x-y+m=0，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：y=ln（2x-1）的導(dǎo)函數(shù)為y′=$\frac{2}{2x-1}$，
設(shè)與曲線y=ln（2x-1）相切且與直線2x-y+3=0平行的直線方程為：2x-y+m=0，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀）
∴$\frac{2}{2{x}_{0}-1}$=2，解得x₀=1，
∴y₀=ln（2x₀-1）=ln1=0，
∴切點(diǎn)為（1，0）
∴切點(diǎn)（1，0）到直線2x-y+3=0的距離為$\frac{|2+3|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
即曲線y=ln（2x-1）上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是$\sqrt{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．