Question

3．若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等比數(shù)列，則該橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2c，2b，2a，通過(guò)橢圓的短軸長(zhǎng)是長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距的等比中項(xiàng)，建立關(guān)于a，b，c的等式，求出橢圓的離心率即可．

解答 解：設(shè)出橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2c，2b，2a，
∵橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等比數(shù)列，
∴4b²=2a•2c，
∴b²=a•c
∴b²=a²-c²=a•c，
兩邊同除以a²得：e²+e-1=0，
解得，e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$（舍負(fù)），
∴e=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的基本性質(zhì)，等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．