Question

18．已知函數(shù)f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx．
（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅱ）對任意實數(shù)x，f（x）與g（x）至少有一個為正數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在正數(shù)m，使得當(dāng)x＞0時，不等式[f（x）-2][g（x）-1]≥0恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對m討論，m=0，m＞0，且判別式小于0，解不等式即可得到；
（Ⅱ）對于任一實數(shù)x，f（x）與g（x）的值至少有一個為正數(shù)，所以對m分類討論，即m=0、m＜0、m＞0 討論f（x）與g（x）的值的正負，求出滿足題意的m的范圍；
（Ⅲ）假設(shè)存在正數(shù)m，使得當(dāng)x＞0時，不等式[f（x）-2][g（x）-1]≥0恒成立．討論x≥$\frac{1}{m}$和0＜x≤$\frac{1}{m}$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，考慮端點的函數(shù)值的符號，解不等式即可得到m=6．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得2mx²-2（4-m）x+1＞0恒成立，
當(dāng)m=0時，1-8x＞0解得x＜$\frac{1}{8}$，不恒成立；
當(dāng)m＞0時，判別式4（4-m）²-8m＜0，解得2＜m＜8．
即有m的取值范圍為（2，8）；
（Ⅱ）當(dāng)m=0時，f（x）=1-8x，g（x）=0，
m=0不符合題意；
若m＜0，在x＜0時，g（x）＞0，在x≥0時，g（x）≤0，
需要f（x）=2mx²-2（4-m）x+1＞0在[0，+∞）上恒成立．
由于m＜0，f（0）=1＞0，在[0，+∞）上f（x）遞減，則f（x）＞0不恒成立；
若m＞0，在x＞0時，g（x）＞0，在x≤0時，g（x）≤0，
需要f（x）=2mx²+（4-m）x+1＞0在（-∞，0]上恒成立．
由于m＞0，f（0）=1＞0，當(dāng)對稱軸x=$\frac{m-4}{4m}$≥0，即有m≥4，
則在（-∞，0]上遞減，則有f（x）＞0恒成立；
當(dāng)對稱軸x=$\frac{m-4}{4m}$＜0，$\frac{8m-4（4-m）^{2}}{8m}$＞0，即有2＜m＜4，
則有（-∞，0]上有f（x）＞0恒成立．
綜上可得，m的取值范圍是（2，+∞）．
（Ⅲ）假設(shè)存在正數(shù)m，使得當(dāng)x＞0時，不等式[f（x）-2][g（x）-1]≥0恒成立．
即為[2mx²-2（4-m）x-1]（mx-1）≥0恒成立．
若mx≥1，即x≥$\frac{1}{m}$，則h（x）=2mx²-2（4-m）x-1≥0在x≥$\frac{1}{m}$恒成立，
由于h（0）=-1＜0，則有h（$\frac{1}{m}$）≥0，解得m≥6；
若mx≤1，即有x≤$\frac{1}{m}$，則h（x）=2mx²-2（4-m）x-1≤0在0＜x≤$\frac{1}{m}$恒成立，
由于h（0）=-1＜0，則有h（$\frac{1}{m}$）≤0，解得m≤6，
綜上可得，m=6．
則存在正數(shù)m=6，使得當(dāng)x＞0時，不等式[f（x）-2][g（x）-1]≥0恒成立．

點評 本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．