Question

8．已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&\\{-1}&{a}\end{array}]$（a，b∈R），若點(diǎn)P（1，1）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P′（-1，1）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求矩陣A的特征值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$[\begin{array}{l}{1}&\\{-1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=-1}\\{-1+a=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，即可求得實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）由（1）可知：A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-1}&{2}\end{array}]$，f（λ）=λE-A=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{2}\\{1}&{λ-2}\end{array}|$=λ（λ-3），f（λ）=0，解得：λ=0或λ=3，即可求得矩陣A的特征值，代入即可求得特征向量．

解答 解：（1）由題意可知：$[\begin{array}{l}{1}&\\{-1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=-1}\\{-1+a=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-1}&{2}\end{array}]$，
（2）由（1）可知：A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-1}&{2}\end{array}]$，
特征多項(xiàng)式f（λ）=λE-A=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{2}\\{1}&{λ-2}\end{array}|$=λ（λ-3），
令f（λ）=0，解得：λ=0或λ=3，
∴特征值λ₁=3，λ₂=0，
當(dāng)λ₁=3時(shí)，齊次線性方程組（λE-A）X=0，
$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}+2{x}_{2}=0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=0}\end{array}\right.$，解得：x₁=-x₂，令x₂=1，
∴其基礎(chǔ)解系為$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$=$（\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}）$，
屬于λ₁=3的全部特征向量為：k₁$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$（k₁≠0），
當(dāng)λ₂=0時(shí)，齊次線性方程組（λE-A）X=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-2{x}_{2}=0}\\{{-{x}_{1}+x}_{2}=0}\end{array}\right.$，解得：x₁=2x₂，令x₂=1，
∴其基礎(chǔ)解系為ξ₂=$（\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array}）$，
屬于λ₂=0的全部特征向量為：k₂$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$（k₂≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查矩陣變換的應(yīng)用，考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，屬于中檔題．