Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是四棱柱，AA₁⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=AA₁=1，AB=2．
（1）求證：A₁C₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面A₁BD與平面BCC₁B₁所成二面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁的中點(diǎn)E，連接EC₁，可得四邊形A₁EC₁D₁是正方形，算出∠A1C1E=

π

4

．由△B₁C₁E是等腰直角三角形，得到A₁C₁⊥B₁C₁，結(jié)合CC₁⊥A₁C₁利用線面垂直判定定理，可得A₁C₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）以DA、DC、DD₁所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．算出D、A、B、A₁、C₁各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

DA1

、

DB

、

A1C1

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法算出

n2

=(-2，1，2)是平面A₁BD的一個(gè)法向量，結(jié)合平面BCC₁B₁的一個(gè)法向量為

n1

=

A1C1

=(-1，1，0)，利用空間向量的夾角公式算出＜

n1

，

n2

＞的夾角，即可算出平面A₁BD與平面BCC₁B₁所成二面角的大小．

解答：解：（1）AA₁⊥底面ABCD，所以CC₁⊥A₁C₁…（1分），
取A₁B₁的中點(diǎn)E，連接EC₁，
則四邊形A₁EC₁D₁是正方形，∠A1C1E=

π

4

…（3分），
又∵B₁E=C₁E=1，∠B1C1E=

π

4

，
∴∠A1C1B1=

π

2

，即A₁C₁⊥B₁C₁…（4分），
∵CC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁…（5分）．
（2）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示…（6分），
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），
A₁（1，0，1），C₁（0，1，1）…（7分），

DA1

=(1，0，1)，

DB

=(1，2，0)，

A1C1

=(-1，1，0)…（8分），
由（1）知，平面BCC₁B₁的一個(gè)法向量為

n1

=

A1C1

=(-1，1，0)…（9分），
設(shè)平面A₁BD的一個(gè)法向量為

n2

=(a，b，c)，
則

n2 • DB =0 n2 • DA1 =0

，即

a+2b=0 a+c=0

…（11分），
設(shè)b=1，則a=-2，c=2，可得

n2

=(-2，1，2)…（12分），
因此所求二面角大小為θ，滿足cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，
結(jié)合θ∈[0，π]，可得所求二面角的大小為

π

4

…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直四棱柱，求證線面垂直并求二面角的大�。�著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、直四棱柱的定義、利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．