Question

已知函數(shù)f（x）=cos2x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設(shè)α，β，f（）=，f（）=，求sin（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出函數(shù)f（x）的最大值，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）由（1）化簡的f（x）解析式及已知的第一個(gè)等式，得到sinα的值，由α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，再由已知的第二個(gè)等式，求出β的度數(shù)，代入所求式子中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入即可求出值．
解答：解：（1）∵f（x）=cos2x+sin2x=（cos2x+sin2x）=sin（2x+），
∵-1≤sin（2x+）≤1，
∴f（x）的最大值為，
∵ω=2，
∴周期T==π；
（2）∵f（+）=sin[2（+）+]=sin（α+）=cosα=，
∴cosα=，
又α∈[0，]，∴sinα==，
∵f（+π）=sin[2（+π）+]=sin（β++2π）=sin（β+）=，
∴sin（β+）=1，
∵β∈[0，]，∴β+∈[，]，
∴β+=，即β=，
則sin（α+β）=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域與值域，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．