Question

定義：離心率的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：的一個焦點為F（c，0），p為橢圓E上任意一點．
（1）試證：若a、b、c不是等比數列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）若E為黃金橢圓；問：是否存在過點F，P的直線l；使l與y軸的交點R滿足；若存在，求直線l的斜率K；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設E為黃金橢圓，則，根據等比中項的性質可推斷a、b、c成等比數列，與已知矛盾，故原命題成立．
（2）設直線l的方程為y=k（x-c），進而可表示出R的坐標根據及，進而表示出P的坐標，把P點代入橢圓的方程整理后可解得k存在，求出k．
解答：解：（1）證明：假設E為黃金橢圓，則，即
∴
即a，b，c成等比數列，與已知矛盾
故原命題成立．
（2）依題意設直線l的方程為y=k（x-c）
令x=0，有y=-kc，即R（0，-kc）
點F（c，0），設P（x，y）
則
∵
∴x=2（c-x）
即p（2c，kc）
y+kc=2y
∵P在橢圓上∴
又b²=ac∴4e²+k²e=1
故，與k²≥0矛盾
所以，滿足題意的直線不存在．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，注意尋找黃金雙曲線中a，b，c之間的關系，利用橢圓的性質求解，屬中檔題．