Question

14．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，若對(duì)任意x₁∈[2，3]，x₂∈[2，3]，x₁≠x₂恒有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)凸函數(shù)和凹函數(shù)的定義，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：滿足條件有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$的函數(shù)為凸函數(shù)，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，}&{x≥a}\\{-{x}^{2}+ax，}&{x＜a}\end{array}\right.$，作出函數(shù)f（x）的圖象，
由圖象知當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f（x）為凸函數(shù)，當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f（x）為凹函數(shù)，
若對(duì)任意x₁∈[2，3]，x₂∈[2，3]，x₁≠x₂恒有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，
則a≥3即可，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞），
故答案為：[3，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為凹函數(shù)和凸函數(shù)的定義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．