Question

7．關(guān)于函數(shù)$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{6}）$，有以下命題：
①x=$\frac{7π}{6}$是函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸； 
②$（-\frac{π}{12}，0）$是函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
③在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$上函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
④在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
⑤函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
其中正確的命題序號(hào)是①②③④（把所有正確命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 ①x=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（$\frac{7π}{6}$）取得最值，判斷x=$\frac{7π}{6}$是對(duì)稱軸；
②x=-$\frac{π}{12}$時(shí)，f（-$\frac{π}{12}$）=0，判斷$（-\frac{π}{12}，0）$是f（x）的對(duì)稱中心；
③x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，判斷函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
④x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，判斷函數(shù)f（x）是單調(diào)減函數(shù)；
⑤驗(yàn)證x=0時(shí)，f（0）≠0，判斷函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．

解答 解：對(duì)于①，x=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（$\frac{7π}{6}$）=3sin（2×$\frac{7π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=3，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{7π}{6}$對(duì)稱，是一條對(duì)稱軸，①正確；
對(duì)于②，x=-$\frac{π}{12}$時(shí)，f（-$\frac{π}{12}$）=3sin（2×（-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$）=0，
∴$（-\frac{π}{12}，0）$是函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$時(shí)，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]；
∴函數(shù)f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）在x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$上單調(diào)遞增，③正確；
對(duì)于④，當(dāng)x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$時(shí)，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴函數(shù)f（x）在x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上單調(diào)遞減，④正確；
對(duì)于⑤，x=0時(shí)，f（0）=3sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$≠0，
∴函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，⑤錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題序號(hào)是①②③④．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了圖象的單調(diào)性與對(duì)稱性問題，是基礎(chǔ)題目．