Question

7．關于函數(shù)$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{6}）$，有以下命題：
①x=$\frac{7π}{6}$是函數(shù)f（x）的對稱軸； 
②$（-\frac{π}{12}，0）$是函數(shù)f（x）的對稱中心；
③在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$上函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
④在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
⑤函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
其中正確的命題序號是①②③④（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析 ①x=$\frac{7π}{6}$時，f（$\frac{7π}{6}$）取得最值，判斷x=$\frac{7π}{6}$是對稱軸；
②x=-$\frac{π}{12}$時，f（-$\frac{π}{12}$）=0，判斷$（-\frac{π}{12}，0）$是f（x）的對稱中心；
③x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，判斷函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
④x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，判斷函數(shù)f（x）是單調(diào)減函數(shù)；
⑤驗證x=0時，f（0）≠0，判斷函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．

解答 解：對于①，x=$\frac{7π}{6}$時，f（$\frac{7π}{6}$）=3sin（2×$\frac{7π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=3，
∴函數(shù)f（x）的圖象關于x=$\frac{7π}{6}$對稱，是一條對稱軸，①正確；
對于②，x=-$\frac{π}{12}$時，f（-$\frac{π}{12}$）=3sin（2×（-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$）=0，
∴$（-\frac{π}{12}，0）$是函數(shù)f（x）的對稱中心，②正確；
對于③，當x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$時，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]；
∴函數(shù)f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）在x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{12}]$上單調(diào)遞增，③正確；
對于④，當x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$時，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴函數(shù)f（x）在x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上單調(diào)遞減，④正確；
對于⑤，x=0時，f（0）=3sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$≠0，
∴函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，⑤錯誤．
綜上，正確的命題序號是①②③④．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應用問題，考查了圖象的單調(diào)性與對稱性問題，是基礎題目．