Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-bx+4（a，b∈R），當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）有極值$-\frac{4}{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=k有3個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f′（2）=0，f（2）=-$\frac{4}{3}$，由此列方程組可解得a，b，從而可得f（x）解析式；
（2）由（1）所求解析式可得f′（x），利用導(dǎo)數(shù)可得f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值，根據(jù)f（x）的圖象的大致形狀即可求得k的范圍；

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³-bx+4（a，b∈R），可得f′（x）=3ax²-b，
依題意得$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12a-b=0}\\{f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{3}$，b=4，
所以所求解析式為f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4．
（2）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，得x=±2，
當(dāng)x＜-2或x＞2時f′（x）＞0，當(dāng)-2＜x＜2時，f′（x）＜0；
所以當(dāng)x=-2時f（x）取得極大值，f（-2）=$\frac{8}{3}$，當(dāng)x=2時f（x）取得極小值，f（2）=-$\frac{4}{3}$，
要使方程f（x）=k有3個解，只需-$\frac{4}{3}$＜k＜$\frac{8}{3}$．
故實數(shù)k的取值范圍為：-$\frac{4}{3}$＜k＜$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件及根的個數(shù)判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．