【題目】如圖，四棱臺(tái)中， 底面，平面平面為的中點(diǎn).

（1）證明： ；

（2）若，且，求二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平幾知識(shí)求，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面即得；（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用解方程組得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系確定二面角的正弦值.

試題解析：（1）證明：連接，

∵為四棱臺(tái)，四邊形四邊形，

∴，由得， ，

又∵底面，∴四邊形為直角梯形，可求得，

又為的中點(diǎn)，所以，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面平面，

∴；

（2）解：

在中， ，利用余弦定理可求得， 或，由于，所以，從而，知，

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， ，

由于平面，所以平面的法向量為，

設(shè)平面的法向量為， ， ，

設(shè)，所以，

，

∴，

即二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方形BCC1B1內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且直線AM∥平面A1DE，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若，證明： .

【答案】（1）， ；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于 的方程組，解出即可；

（2）由（1）可知， ，

由，可得，令， 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得

，

從而證明.

試題解析：（（1）由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，故， .

（2）由（1）可知， ，

由，可得，

令，

，

令

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，且；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；且，

所以在上當(dāng)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，

故，

故.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上取兩點(diǎn)， 與原點(diǎn)構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司對(duì)營(yíng)銷人員有如下規(guī)定：

①年銷售額 (萬元)在8萬元以下，沒有獎(jiǎng)金；

②年銷售額 (萬元)， 時(shí)，獎(jiǎng)金為萬元，且， ，且年銷售額越大，獎(jiǎng)金越多；

③年銷售額超過64萬元，按年銷售額的10%發(fā)獎(jiǎng)金．

(1)求獎(jiǎng)金y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)若某營(yíng)銷人員爭(zhēng)取獎(jiǎng)金 (萬元)，則年銷售額 (萬元)在什么范圍內(nèi)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱臺(tái)中， 底面，平面平面為的中點(diǎn).

（1）證明： ；

（2）若，且，求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

(2)當(dāng)時(shí)，判斷 在上的單調(diào)性，并說明理由；

(3)當(dāng)時(shí)，求證： ，都有

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

（Ⅱ）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅲ）若,求證: .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】濟(jì)南新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換先行區(qū),承載著濟(jì)南從“大明湖時(shí)代”邁向“黃河時(shí)代”的夢(mèng)想,肩負(fù)著山東省新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換先行先試的重任,是全國(guó)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換的先行區(qū).先行區(qū)將以“結(jié)構(gòu)優(yōu)化質(zhì)量提升”為目標(biāo),通過開放平臺(tái)匯聚創(chuàng)新要素,堅(jiān)持綠色循環(huán)保障持續(xù)發(fā)展,建設(shè)現(xiàn)代綠色智慧新城.2019年某智能機(jī)器人制造企業(yè)有意落戶先行區(qū),對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行了可行性分析,如果全年固定成本共需2000(萬元),每年生產(chǎn)機(jī)器人(百個(gè)),需另投人成本(萬元),且,由市場(chǎng)調(diào)研知,每個(gè)機(jī)器人售價(jià)6萬元,且全年生產(chǎn)的機(jī)器人當(dāng)年能全部銷售完.

(1)求年利潤(rùn)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(百個(gè))的函數(shù)關(guān)系式;(利潤(rùn)=銷售額-成本)

(2)該企業(yè)決定:當(dāng)企業(yè)年最大利潤(rùn)超過2000(萬元)時(shí),才選擇落戶新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換先行區(qū).請(qǐng)問該企業(yè)能否落戶先行區(qū),并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下面六個(gè)句子中，錯(cuò)誤的題號(hào)是________.

①周期函數(shù)必有最小正周期；

②若則，至少有一個(gè)為；

③為第三象限角，則；

④若向量與的夾角為銳角，則；

⑤存在，，使成立；

⑥在中，O為內(nèi)一點(diǎn)，且，則O為的重心.

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