Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{3}{x}$+a，a∈R，若實數(shù)a，使得f（x）=2有且僅有3個不同實數(shù)根，且它們成等差數(shù)列，則所有a的取值構(gòu)成的集合為{a|a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$}．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$，從而不妨設(shè)f（x）=2的3個根為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，討論以確定a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$，
不妨設(shè)f（x）=2的3個根為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃
當(dāng)x＞a時，f（x）=2，解得x=-1，x=3；
①a≤-1，∵x₂=-1，x₃=3，∴x₁=-5，
由f（-5）=2，解得a=-$\frac{9}{5}$，滿足f（x）=2在（-∞，a]上有一解．
②-1＜a≤3，f（x）=2在（-∞，a]上有兩個不同的解，不妨設(shè)x₁，x₂，其中x₃=3，
所以有x₁，x₂是2a-x-$\frac{3}{x}$=2的兩個解，
即x₁，x₂是x²-（2a-2）x+3=0的兩個解．
得到x₁+x₂=2a-2，x₁x₂=3，
又由設(shè)f（x）=2的3個根為x₁，x₂，x₃成差數(shù)列，且x₁＜x₂＜x₃，得到2x₂=x₁+3，
解得：a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或$\frac{5-3\sqrt{33}}{8}$（舍去）；
③a＞3，f（x）=2最多只有兩個解，不滿足題意；
綜上所述，a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$．
故答案為：{a|a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$}．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了對勾函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．