Question

已知函數(shù)f（x）=ax³e^x-1+bx³+c在x=1處取得極值2b+c+7，a，b，c為常數(shù)，
（1）試確定a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[-4，+∞）時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c²-2c-1成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系列出方程組即可求出a，b的值；
（2）由（1）得f（x）=3x³e^x-1-4x³+c，f′（x）=9x²e^x-1+3x³e^x-1-12x²=3x²[（3+x）e^x-1-4]，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）可知，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=-1+c，則有-1+c≤c²-2c-1，解得即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²e^x-1+ax³e^x-1+3bx²，
∵f（x）=ax³e^x-1+bx³+c在x=1處取得極值2b+c+7，
∴

f′(1)=0 f(1)=2b+c+7

即

4a+3b=0 a+b+c=2b+c+7

解得a=3，b=-4．
（2）由（1）得f（x）=3x³e^x-1-4x³+c，
f′（x）=9x²e^x-1+3x³e^x-1-12x²=3x²[（3+x）e^x-1-4]，
∴當(dāng)-4≤x≤1時(shí)，f′（x）≤0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[-4，1]上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由（2）可知，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=-1+c，
∴若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c²-2c-1成立，則有，
-1+c≤c²-2c-1，解得c≤0或c≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)，考查學(xué)生恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．