Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，a_n≠0，（n∈N^*），且a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0（k∈N^*）
（1）求證：當(dāng)k取不同自然數(shù)時(shí)，此方程有公共根；
（2）若方程不同的根依次為x₁，x₂，…，x_n，…，求證：數(shù)列{

1

1+xn

}為等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，2a_k+1=a_k+a_k+2，于是原方程可轉(zhuǎn)化為（a_kx+a_k+2）（x+1）=0，從而可證結(jié)論；
（2）原方程另一根為x_n，利用韋達(dá)定理，可求得x_n=-1-

2d

ak

，繼而得

1

1+xn

=-

ak

2d

，利用等差數(shù)列的定義，證明即可．

解答： 證明：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，∴2a_k+1=a_k+a_k+2，故方程a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0，
可變?yōu)椋╝_kx+a_k+2）（x+1）=0，
∴當(dāng)k取不同自然數(shù)時(shí)，原方程有一個(gè)公共根-1．
（2）原方程另一根為x_n，則-x_n=

ak+2

ak

=

ak+2d

ak

=1+

2d

ak

，
∴x_n=-1-

2d

ak

，1+x_n=-

2d

ak

，

1

1+xn

=-

ak

2d

，…（10分）
∴

1

1+xn+1

-

1

1+xn

=-

ak+1

2d

-（-

ak

2d

）=

ak-ak+1

2d

=

-d

2d

=-

1

2

（常數(shù)）．
∴數(shù)列{

1

1+xn

}是以-

1

2

為公差的等差數(shù)列

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差關(guān)系得確定，考查方程思想與推理運(yùn)算能力，屬于中檔題．