Question

棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、E、F分別為棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中點．
（1）求證：B、D、E、F四點共面；
（2）求證：平面AMN∥平面EFBD．
（3）求點A₁到平面AMN的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）分別連結B₁D₁、ED、FB，由正方體性質知B₁D₁∥BD．由此能證明E、F、B、D四點共面．
（2）連結A₁C₁交MN于P點，交EF于點Q，連結AC交BD于點O，分別連結PA、QO．由已知得四邊形PAOQ為平行四邊形，由此能證明平面AMN∥平面EFBD．
（3）過A₁作A₁H⊥AP，則MN⊥A₁H，A₁H⊥平面AMN，由此能求出點A₁到平面AMN的距離．

解答： （1）證明：分別連結B₁D₁、ED、FB，由正方體性質知B₁D₁∥BD．
∵E、F分別是D₁C₁和B₁C₁的中點，
∴EF

∥

.

1

2

B₁D₁．∴EF

∥

.

1

2

BD．
∴E、F、B、D四點共面．
（2）證明：連結A₁C₁交MN于P點，交EF于點Q，
連結AC交BD于點O，分別連結PA、QO．
∵M、N為A₁B₁、A₁D₁的中點，
∴MN∥EF．而EF?面EFBD．
∴MN∥面EFBD．∵PQ

∥

.

AO，
∴四邊形PAOQ為平行四邊形．∴PA∥QO．
而QO?平面EFBD，∴PA∥平面EFBD，
且PA∩MN=P，PA、MN?面AMN．
∴平面AMN∥平面EFBD．
（3）解：∵A₁B₁C₁D₁是正方形，M、N分別為棱A₁B₁、A₁D₁的中點，
∴A₁P⊥MN，A₁P=

1

4

A1C1=

2

4

a，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴MN⊥AA₁，又AA₁∩A₁P=A₁，∴MN⊥平面AA₁P，
過A₁作A₁H⊥AP，則MN⊥A₁H，∴A₁H⊥平面AMN，
∵AP=

a2+( 2 4 a)2

=

3 2

4

a，
又

1

2

AP×A1H=

1

2

AA1×A1P，
∴A1H=

AA1×A1P

AP

=

a× 2 4 a

3 2 4 a

=

a

3

．
∴點A₁到平面AMN的距離為

a

3

．

點評：本題考查B、D、E、F四點共面的證明，考查平面AMN∥平面EFBD的證明，考查點A₁到平面AMN的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．