Question

13．已知正項數(shù)列{a_n}滿足2a₁+3a₂+a₃=1，則$\frac{1}{{{a_1}+{a_2}}}$與$\frac{1}{{{a_2}+{a_3}}}$的等差中項最小為$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 令a=a₁+a₂，b=a₂+a₃，由2a₁+3a₂+a₃=1知，2a+b=1，且a，b＞0，可得：$\frac{1}{{{a_1}+{a_2}}}$+$\frac{1}{{{a_2}+{a_3}}}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$，展開利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：令a=a₁+a₂，b=a₂+a₃，由2a₁+3a₂+a₃=1知，2a+b=1，且a，b＞0，
∴$\frac{1}{{{a_1}+{a_2}}}$+$\frac{1}{{{a_2}+{a_3}}}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$=3+$\frac{a}+\frac{2a}$≥3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{2a}$，即a=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，b=$\sqrt{2}$-1時，取“=”號，
∴等差中項最小為$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．