【題目】已知數(shù)列{}的首項a1=2,前n項和為,且數(shù)列{}是以為公差的等差數(shù)列·
(1)求數(shù)列{}的通項公式;
(2)設,,數(shù)列{}的前n項和為,
①求證:數(shù)列{}為等比數(shù)列,
②若存在整數(shù)m,n(m>n>1),使得,其中為常數(shù),且-2,求的所有可能值.
【答案】(1);(2)①見證明;②當n=2,m=4時,λ=-2,當n=2,m=3時,λ=-1.
【解析】
(1)先求解等差數(shù)列的通項公式,再根據(jù)求解的通項公式;(2)①采用錯位相減法先求,再根據(jù),證明為等比數(shù)列;②將所給的等式變形,然后得到對應的等量關(guān)系,接著分析此等量關(guān)系(借助數(shù)列的單調(diào)性)在什么時候滿足即取什么值時能滿足要求.
(1)因為,所以
所以
即
當時,
∴
當n=1時,,符合上述通項,所以
(2)①因為,所以
所以
則
兩式相減,可整理得
∴,,且
所以數(shù)列是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.
②由①可知,,且由(1)知,代入
可得
整理得
即:,設,則
則
因為,所以當時,,即
因為,且
所以
所以或,即n=2,m=4或3
當n=2,m=4時,λ=-2,
當n=2,m=3時,λ=-1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某研究性學習小組對無現(xiàn)金支付(支付寶、微信、銀行卡)的用戶進行問卷調(diào)查,隨機選取了人(圖1),按年齡分為青年組與中老年組,如圖2.
(1)完成圖2的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為使用支付寶用戶與年齡有關(guān)系?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的中老年組中按分層抽樣的方法選出人,再隨機抽取人贈送禮品,試求抽取的人中恰有人為“非支付寶用戶”的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-2x.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
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【題目】某周末,鄭州方特夢幻王國匯聚了八方來客.面對該園區(qū)內(nèi)相鄰的兩個主題公園“千古蝶戀”和“西游傳說”,成年人和未成年人選擇游玩的意向會有所不同.某統(tǒng)計機構(gòu)對園區(qū)內(nèi)的100位游客(這些游客只在兩個主題公園中二選一)進行了問卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示,在被調(diào)查的50位成年人中,只有10人選擇“西游傳說”,而選擇“西游傳說”的未成年人有20人.
(1)根據(jù)題意,請將下面的列聯(lián)表填寫完整;
選擇“西游傳說” | 選擇“千古蝶戀” | 總計 | |
成年人 | |||
未成年人 | |||
總計 |
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),判斷是否有的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關(guān).
附參考公式與表:().
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】每年10月中上旬是小麥的最佳種植時間,但小麥的發(fā)芽會受到土壤、氣候等多方面因素的影響.某科技小組為了解晝夜溫差的大小與小麥發(fā)芽的多少之間的關(guān)系,在不同的溫差下統(tǒng)計了100顆小麥種子的發(fā)芽數(shù),得到了如下數(shù)據(jù):
溫差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
發(fā)芽數(shù)(顆) | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
(1)請根據(jù)統(tǒng)計的最后三組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若由(1)中的線性回歸方程得到的估計值與前兩組數(shù)據(jù)的實際值誤差均不超過兩顆,則認為線性回歸方程是可靠的,試判斷(1)中得到的線性回歸方程是否可靠;
(3)若100顆小麥種子的發(fā)芽率為顆,則記為的發(fā)芽率,當發(fā)芽率為時,平均每畝地的收益為元,某農(nóng)場有土地10萬畝,小麥種植期間晝夜溫差大約為,根據(jù)(1)中得到的線性回歸方程估計該農(nóng)場種植小麥所獲得的收益.
附:在線性回歸方程中,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在R的奇函數(shù)滿足,且時, ,下面四種說法①;②函數(shù)在[-6,-2]上是增函數(shù);③函數(shù)關(guān)于直線對稱;④若,則關(guān)于的方程在[-8,8]上所有根之和為-8,其中正確的序號__________。
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【題目】某中學將100名高一新生分成水平相同的甲,乙兩個“平行班”,每班50人.陳老師采用A,B兩種不同的教學方式分別在甲,乙兩個班級進行教改實驗.為了解教學效果,期末考試后,陳老師分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計,作出莖葉圖如下,計成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”.
(1)從乙班樣本的20個個體中,從不低于86分的成績中隨機抽取2個,求抽出的兩個均“成績優(yōu)秀”的概率.
(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“成績優(yōu)秀”與教學方式有關(guān).
甲班(A方式) | 乙班(B方式) | 總計 | |
成績優(yōu)秀 | |||
成績不優(yōu)秀 | |||
總計 |
附:臨界值表
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【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況,假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同,現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員,并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù),整理如下:
甲公司員工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350
乙公司員工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420
每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下:甲公司規(guī)定每件0.65元,乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù);
(2)為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況,從這10天中隨機抽取1天,他所得的勞務費記為 (單位:元),求的分布列和數(shù)學期望;
(3)根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校共有學生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學生每周平均體育鍛煉時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學生每周平均體育鍛煉時間(單位:小時).
(1)應抽查男生與女生各多少人?
(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表:
時間(小時) | [0,1] | (1,2] | (2,3] | (3,4] | (4,5] | (5,6] |
頻率 | 0.05 | 0.20 | 0.30 | 0.25 | 0.15 | 0.05 |
若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時,請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”?
男生 | 女生 | 總計 | |
每周平均體育鍛煉時間不超過2小時 | |||
每周平均體育鍛煉時間超過2小時 | |||
總計 |
附:K2.
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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