【題目】設函數f(x)=(x+1)ln x-2x.
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)設h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
【答案】(1)在(0,+∞)上單調遞增.(2)0
【解析】(1)函數的定義域為(0,+∞).
f′(x)=ln x+-1,不妨令g(x)=ln x+-1,g′(x)=-=,
當x>1 ,g′(x)>0,函數g(x)=f′(x)單調遞增,又因為f′(x)>f′(1)=0,所以x>1,f′(x)>0,函數f(x)單調遞增;
當0<x<1,g′(x)<0,g(x)=f′(x)單調遞減,
又因為f′(x)>f′(1)=0,所以0<x<1,f′(x)>0.
函數f(x)單調遞增.
所以函數y=f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
(2)h(x)=ln x+-1+,h′(x)=--=,設φ(x)=xex-ex-x2,φ′(x)=xex-2x=x(ex-2),當x∈(0,ln 2),φ′(x)<0,函數φ(x)單調遞減,
又因為φ(x)<φ(0)=-1<0,所以0<x<ln 2,h′(x)<0,函數h(x)單調遞減.
當x∈(ln 2,+∞),φ′(x)>0,函數φ(x)單調遞增,又因為φ(x)>φ(ln 2)=2ln 2-2-(ln 2)2,又φ(1)=-1<0,φ(2)=e2-4>0,故存在x0∈(1,2),使得φ(x)=0,即x0ex0-ex0-=0,在(0,x0)上,φ(x)<0,在(x0,+∞)上,φ(x)>0.
即h(x)在(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增.
所以有h(x)≥h(x0)=ln x0+-1+,又=-,所以h(x)≥h(x0)=ln x0+-1+=ln x0+--1,不妨令M(x)=ln x+--1,當x∈(1,2)時,M′(x)=.
M′(x)==>0恒成立,所以,M(x)是單增函數,又M(1)=0,M(2)=ln 2-<1,
所以有1>h(x0)=ln x0+--1>0.
所以k≤0,所以k的最大值為0.
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【題目】【選修4-4:坐標系與參數方程】
在平面直角坐標系中,曲線的參數方程為: (為參數, ),將曲線經過伸縮變換: 得到曲線.
(1)以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立坐標系,求的極坐標方程;
(2)若直線(為參數)與相交于兩點,且,求的值.
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【題目】10月1日,某品牌的兩款最新手機(記為型號,型號)同時投放市場,手機廠商為了解這兩款手機的銷售情況,在10月1日當天,隨機調查了5個手機店中這兩款手機的銷量(單位:部),得到下表:
手機店 |
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型號手機銷量 | 6 | 6 | 13 | 8 | 11 |
型號手機銷量 | 12 | 9 | 13 | 6 | 4 |
(Ⅰ)若在10月1日當天,從,這兩個手機店售出的新款手機中各隨機抽取1部,求抽取的2部手機中至少有一部為型號手機的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)從這5個手機店中任選3個舉行促銷活動,用表示其中型號手機銷量超過型號手機銷量的手機店的個數,求隨機變量的分布列和數學期望;
(III)經測算,型號手機的銷售成本(百元)與銷量(部)滿足關系.若表中型號手機銷量的方差,試給出表中5個手機店的型號手機銷售成本的方差的值.(用表示,結論不要求證明)
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【題目】已知拋物線的焦點到準線的距離為,直線與拋物線交于,兩點,過這兩點分別作拋物線的切線,且這兩條切線相交于點.
(1)若點的坐標為,求的值;
(2)設線段的中點為,過的直線與線段為直徑的圓相切,切點為,且直線與拋物線交于,兩點,求的取值范圍.
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【題目】已知數列{}的首項a1=2,前n項和為,且數列{}是以為公差的等差數列·
(1)求數列{}的通項公式;
(2)設,,數列{}的前n項和為,
①求證:數列{}為等比數列,
②若存在整數m,n(m>n>1),使得,其中為常數,且-2,求的所有可能值.
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【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗,并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數x與燒開一壺水所用時間y的一組數據,且作了一定的數據處理(如表),得到了散點圖(如圖).
表中,.
(1)根據散點圖判斷,與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據判斷結果和表中數據,建立y關于x的回歸方程;
(3)若旋轉的弧度數x與單位時間內煤氣輸出量t成正比,那么x為多少時,燒開一壺水最省煤氣?
附:對于一組數據,,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.
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