Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸的一個端點(diǎn)為M（0，1），過橢圓左頂點(diǎn)A的直線l與橢圓的另一交點(diǎn)為B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若l與直線x=a交于點(diǎn)P，求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{PO}$的值；
（3）若|AB|=$\frac{4}{3}$，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求出a、b的值即可；
（2）設(shè)出直線l的方程，根據(jù)題意求出B、P的坐標(biāo)，計(jì)算$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的值即可；
（3）討論直線l的斜率不存在和存在時，利用直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y，利用弦長公式求出直線的斜率k，從而求出傾斜角的大小．

解答 解：（1）∵橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且b=1，
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）由（1）可知點(diǎn)$A（-\sqrt{2}，0）$，
設(shè)B（x₀，y₀），則直線l的方程為：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$（x+$\sqrt{2}$）；
令$x=\sqrt{2}$，解得$y=\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$，即$P（\sqrt{2}，\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}）$，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=（{x_0}，{y_0}）•（\sqrt{2}，\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}）=\frac{{\sqrt{2}（x_0^2+2y_0^2）+2{x_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$；
又∵B（x₀，y₀）在橢圓上，則$x_0^2+2y_0^2=2$，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=2$；
（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時，不符合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其為k，則直線l的方程為：y=k（x+$\sqrt{2}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{2y}^{2}-2=0}\\{y=k（x+\sqrt{2}）}\end{array}\right.$可得，$（2{k^2}+1）{x^2}+4\sqrt{2}{k^2}x+（4{k^2}-2）=0$，
由于△=8＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）可得，
${x_1}+{x_2}=-\frac{{4\sqrt{2}{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$；
∴|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1{+k}^{2}}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\sqrt{{（-\frac{4{\sqrt{2}k}^{2}}{{2k}^{2}+1}）}^{2}-4•\frac{{4k}^{2}-2}{{2k}^{2}+1}}$
=$\frac{4}{3}$，
解得k=±1；
∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了直線與橢圓方程以及平面向量的應(yīng)用問題，是綜合性題目．