Question

16．設(shè)y=f″（x）是y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有對稱中心（x₀，f（x₀）），其中x₀滿足f″（x₀）=0．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，則f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=（　�。�

• A． 2013
• B． 2014
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 結(jié)合題意求導(dǎo)可得f″（x）=2x-1，從而可求出（$\frac{1}{2}$，1）是f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的對稱中心； 從而利用對稱性求得f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=2，f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）=2，…，從而求得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，
∴f′（x）=x²-x+3，
∴f″（x）=2x-1，
令f″（x）=2x-1=0解得，
x=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）=1，
由題意知，
（$\frac{1}{2}$，1）是f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的對稱中心；
故f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=2，
f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）=2，
…，
故f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=2016，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)與應(yīng)用能力，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及整體思想的應(yīng)用，屬于中檔題．